தொடர்பு சுற்று இயற்கணிதம், பூலியன் இயற்கணிதம் சட்டங்கள்

ரிலே சுற்றுகளின் கட்டமைப்பு மற்றும் இயக்க நிலைமைகளின் பகுப்பாய்வு பதிவு சுற்றுகளின் பகுப்பாய்வு சமமான மாற்றங்களைச் செய்ய உதவுகிறது, அதாவது கட்டமைப்பு சூத்திரங்களை மாற்றுவதன் மூலம், அவற்றின் செயல்பாட்டில் ஒத்த திட்டங்களைக் கண்டறிதல். தொடர்பு சுற்றுகளை வெளிப்படுத்தும் கட்டமைப்பு சூத்திரங்களுக்கு மாற்றும் முறைகள் குறிப்பாக முழுமையாக உருவாக்கப்பட்டுள்ளன.

தொடர்பு சுற்றுகளுக்கு, தர்க்கத்தின் இயற்கணிதத்தின் கணிதக் கருவி பயன்படுத்தப்படுகிறது, இன்னும் துல்லியமாக, அதன் எளிமையான வகைகளில் ஒன்று, முன்மொழிவு கால்குலஸ் அல்லது பூலியன் இயற்கணிதம் (கடந்த நூற்றாண்டின் கணிதவியலாளர் ஜே. பூலுக்குப் பிறகு) என்று அழைக்கப்படுகிறது.

முன்மொழிவு கால்குலஸ் முதலில் சார்புநிலையை ஆய்வு செய்வதற்காக உருவாக்கப்பட்டது (சிக்கலான தீர்ப்புகளின் உண்மை அல்லது பொய்யானது அவற்றை உருவாக்கும் எளிய முன்மொழிவுகளின் உண்மை அல்லது தவறானது. சாராம்சத்தில், முன்மொழிவு கால்குலஸ் என்பது இரண்டு எண்களின் இயற்கணிதம் ஆகும், அதாவது ஒரு இயற்கணிதம். ஒவ்வொரு தனிப்பட்ட வாதம் மற்றும் ஒவ்வொரு செயல்பாடும் இரண்டு மதிப்புகளில் ஒன்றைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இது பூலியன் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர்பு சுற்றுகளை மாற்றுவதற்கான சாத்தியத்தை தீர்மானிக்கிறது, ஏனெனில் கட்டமைப்பு சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள ஒவ்வொரு வாதங்களும் (தொடர்புகள்) இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும், அதாவது, அதை மூடலாம் அல்லது திறக்கலாம், மேலும் முழு செயல்பாடும் கட்டமைப்பால் குறிப்பிடப்படுகிறது. சூத்திரம் ஒரு மூடிய அல்லது திறந்த வளையத்தை வெளிப்படுத்தலாம்.

பூலியன் இயற்கணிதம் அறிமுகப்படுத்துகிறது:

1) சாதாரண இயற்கணிதத்தைப் போலவே, பெயர்களைக் கொண்ட பொருள்கள்: சுயாதீன மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் - இருப்பினும், சாதாரண இயற்கணிதம் போலல்லாமல், பூலியன் இயற்கணிதத்தில் இரண்டும் இரண்டு மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும்: 0 மற்றும் 1;

2) அடிப்படை தர்க்க செயல்பாடுகள்:

• தர்க்கரீதியான கூட்டல் (அல்லது டிஸ்ஜங்க்ஷன், லாஜிக்கல் OR, குறியால் குறிக்கப்படுகிறது?), இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: செயல்பாட்டின் அனைத்து வாதங்களும் 0 க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே செயல்பாட்டின் முடிவு 0 ஆகும், இல்லையெனில் முடிவு 1;

• தருக்கப் பெருக்கல் (அல்லது இணைத்தல், தருக்க மற்றும், ?, அல்லது குறிப்பிடப்படவில்லை) இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: செயல்பாட்டின் அனைத்து வாதங்களும் 1க்கு சமமாக இருந்தால் மட்டுமே செயல்பாட்டின் முடிவு 1 ஆகும், இல்லையெனில் முடிவு 0 ஆகும்;

• மறுப்பு (அல்லது நேர்மாறாக, தருக்க NOT, வாதத்திற்கு மேலே உள்ள ஒரு பட்டியால் சுட்டிக்காட்டப்படுகிறது), இது பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது: செயல்பாட்டின் முடிவு வாதத்தின் எதிர் மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது;

3) கோட்பாடுகள் (பூலியன் இயற்கணிதத்தின் விதிகள்), இது தருக்க வெளிப்பாடுகளை மாற்றுவதற்கான விதிகளை வரையறுக்கிறது.

ஒவ்வொரு தருக்க செயல்பாடுகளும் மாறிகள் மற்றும் செயல்பாடுகள் இரண்டிலும் செய்யப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும், அவை கீழே பூலியன் செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும்... சாதாரண இயற்கணிதத்துடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம், பூலியன் இயற்கணிதத்தில், தருக்கப் பெருக்கத்தின் செயல்பாடு தருக்கத்தை விட முதன்மையானது என்பதை நினைவில் கொள்க. கூடுதல் செயல்பாடு.

செயல்பாட்டின் வாதங்கள் எனப்படும் பல பொருள்களில் (மாறிகள் அல்லது செயல்பாடுகள்) தருக்க செயல்பாடுகளை இணைப்பதன் மூலம் பூலியன் வெளிப்பாடுகள் உருவாகின்றன.

பூலியன் இயற்கணிதத்தின் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தருக்க வெளிப்பாடுகளின் மாற்றம் பொதுவாக குறைக்கும் நோக்கத்துடன் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, ஏனெனில் எளிமையான வெளிப்பாடு, தருக்கச் சங்கிலியின் சிக்கலானது சிறியதாக இருக்கும், இது தருக்க வெளிப்பாட்டின் தொழில்நுட்ப செயலாக்கமாகும்.

பூலியன் இயற்கணிதம் விதிகள் கோட்பாடுகள் மற்றும் விளைவுகளின் தொகுப்பாக வழங்கப்படுகின்றன. மாறிகளின் வெவ்வேறு மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம் இவற்றைச் சரிபார்க்கலாம்.

பூலியன் செயல்பாட்டிற்கான எந்தவொரு தருக்க வெளிப்பாட்டின் தொழில்நுட்ப அனலாக் ஒரு தர்க்க வரைபடம் ஆகும்... இந்த வழக்கில், பூலியன் செயல்பாடு சார்ந்திருக்கும் மாறிகள் இந்த சுற்றுகளின் வெளிப்புற உள்ளீடுகளுடன் இணைக்கப்பட்டுள்ளன, ஒரு பூலியன் செயல்பாட்டின் மதிப்பு உருவாகிறது சுற்று வெளி வெளியீடு, மற்றும் ஒரு தருக்க வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு தருக்க செயல்பாடும் ஒரு தருக்க உறுப்பு மூலம் செயல்படுத்தப்படுகிறது.

இவ்வாறு, லாஜிக் சர்க்யூட்டின் வெளியீட்டில் உள்ள ஒவ்வொரு உள்ளீட்டு சிக்னல்களுக்கும், இந்த மாறிகளின் தொகுப்பின் பூலியன் செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கு ஒத்த ஒரு சமிக்ஞை உருவாக்கப்படுகிறது (மேலும், பின்வரும் மரபுகளைப் பயன்படுத்துவோம்: 0 - குறைந்த சமிக்ஞை நிலை , 1 - உயர் நிலை சமிக்ஞை).

லாஜிக் சர்க்யூட்களை உருவாக்கும்போது, ​​மாறிகள் ஒரு பாராஃபேஸ் குறியீட்டில் உள்ளீட்டிற்கு வழங்கப்படுகின்றன என்று கருதுவோம் (அதாவது மாறிகளின் நேரடி மற்றும் தலைகீழ் மதிப்புகள் இரண்டும் கிடைக்கின்றன).

அட்டவணை 1 GOST 2.743-91 க்கு இணங்க சில தர்க்க கூறுகளின் வழக்கமான கிராஃபிக் பெயர்களையும் அவற்றின் வெளிநாட்டு சகாக்களையும் காட்டுகிறது.

தாவலில் பூலியன் இயற்கணிதத்தின் (AND, OR, NOT) மூன்று செயல்பாடுகளைச் செய்யும் உறுப்புகளுக்கு கூடுதலாக. பிரதானத்திலிருந்து பெறப்பட்ட செயல்பாடுகளைச் செய்யும் கூறுகளை 1 காட்டுகிறது:

— மற்றும் -இல்லை — தருக்கப் பெருக்கத்தின் மறுப்பு, ஷேஃபர் மூவ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (ஆல் குறிக்கப்படுகிறது |)

— அல்லது -இல்லை — தருக்க நிரப்பியின் மறுப்பு, பீர்ஸின் அம்பு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (?)

லாஜிக் கேட்களை ஒன்றாக இணைப்பதன் மூலம், நீங்கள் எந்த பூலியன் செயல்பாட்டையும் செயல்படுத்தலாம்.

பொதுவாக ரிலே சுற்றுகளை வெளிப்படுத்தும் கட்டமைப்பு சூத்திரங்கள், அதாவது, வினைபுரியும் கழுகுகளின் சின்னங்களைக் கொண்டவை, மூடிய அல்லது திறந்த சுற்றுகளை மட்டுமே வெளிப்படுத்தும் இரண்டு மதிப்புகளின் செயல்பாடுகளாக கருத முடியாது. எனவே, அத்தகைய செயல்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது, ​​பூலியன் இயற்கணிதத்தின் வரம்புகளுக்கு அப்பாற்பட்ட பல புதிய சார்புகள் எழுகின்றன.

பூலியன் இயற்கணிதத்தில், நான்கு ஜோடி அடிப்படை சட்டங்கள் உள்ளன: இரண்டு இடப்பெயர்வுகள், இரண்டு சேர்க்கைகள், இரண்டு விநியோகம் மற்றும் இரண்டு சட்ட தலைகீழ்கள். இந்தச் சட்டங்கள் வெவ்வேறு வெளிப்பாடுகளின் சமநிலையை நிறுவுகின்றன, அதாவது, சாதாரண இயற்கணிதத்தில் அடையாளங்களை மாற்றுவது போல ஒருவருக்கொருவர் மாற்றியமைக்கக்கூடிய வெளிப்பாடுகளை அவை கருதுகின்றன. சாதாரண இயற்கணிதத்தில் (=) உள்ள சமத்துவக் குறியீடாக இருக்கும் குறியீட்டை ஒரு சமநிலைக் குறியீடாக எடுத்துக்கொள்வோம்.

தொடர்பு சுற்றுகளுக்கான பூலியன் இயற்கணிதத்தின் சட்டங்களின் செல்லுபடியாகும், சமமான வெளிப்பாடுகளின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களுடன் தொடர்புடைய சுற்றுகளைக் கருத்தில் கொண்டு நிறுவப்படும்.

பயணச் சட்டங்கள்

சேர்க்க: x + y = y + x

இந்த வெளிப்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய திட்டங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 1, ஏ.

இடது மற்றும் வலது சுற்றுகள் பொதுவாக திறந்த சுற்றுகளாகும், அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு உறுப்பு (X அல்லது Y) தூண்டப்படும்போது மூடப்படும், அதாவது, இந்த சுற்றுகள் சமமானவை. பெருக்கத்திற்கு: x ·y = y ·NS.

இந்த வெளிப்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய திட்டங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 1b, அவற்றின் சமநிலையும் தெளிவாக உள்ளது.

அரிசி. 1

சேர்க்கை சட்டங்கள்

கூடுதலாக: (x + y) + z = x + (y + z)

பெருக்கலுக்கு: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

இந்த வெளிப்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய சமமான சுற்றுகளின் ஜோடிகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 2, a, b

அரிசி. 2

விநியோக சட்டங்கள்

பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல்: (x + y) +z = x + (y + z)

கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல். x ·y + z = (x + z) ·(y + z)

இந்த வெளிப்பாடுகளுடன் தொடர்புடைய திட்டங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 3, a, b.

அரிசி. 3.

தொடர்பு செயல்பாட்டின் வெவ்வேறு சேர்க்கைகளைக் கருத்தில் கொண்டு இந்தத் திட்டங்களின் சமநிலையை எளிதாகச் சரிபார்க்க முடியும்.

தலைகீழ் விதிகள்

கூடுதலாக: NS + c = NS·c

வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கத்திற்கு மேலே உள்ள பட்டை ஒரு மறுப்பு அல்லது தலைகீழ் அடையாளமாகும். மறுப்பு குறியின் கீழே உள்ள வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்தமட்டில் முழு செயல்பாடும் எதிர் பொருளைக் கொண்டிருப்பதை இந்த அடையாளம் குறிக்கிறது. முழு தலைகீழ் செயல்பாட்டிற்கும் ஒரு வரைபடத்தை வரைய முடியாது. எனவே, சூத்திரத்தை படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைபடங்களுடன் விளக்கலாம். 4, ஏ.

அரிசி. 4.

இடது வரைபடம் x + y வெளிப்பாடு மற்றும் வலதுபுறம் NS ·c க்கு ஒத்திருக்கிறது

இந்த இரண்டு சுற்றுகளும் செயல்பாட்டில் ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக உள்ளன, அதாவது: X, Y என்ற உற்சாகமில்லாத கூறுகளைக் கொண்ட இடது சுற்று ஒரு திறந்த சுற்று என்றால், வலது சுற்று மூடப்படும். இடது சுற்றில் இருந்தால், உறுப்புகளில் ஒன்று தூண்டப்பட்டால், சுற்று மூடுகிறது, மற்றும் வலது சுற்று, மாறாக, அது திறக்கிறது.

எதிர்மறை குறியின் வரையறையின்படி, x + y சார்பு x + y செயல்பாட்டின் தலைகீழ் என்பதால், x + y = NS·in என்பது தெளிவாகிறது.

பெருக்கல் தொடர்பாக: NS · c = NS + c

தொடர்புடைய திட்டங்கள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. 4, பி.

இடமாற்றம் மற்றும் சேர்க்கை மற்றும் சட்டங்கள் மற்றும் கூட்டல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் விநியோக விதி (சாதாரண இயற்கணிதத்தின் ஒத்த விதிகளுடன் தொடர்புடையது).எனவே, சொற்களின் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் வரிசையில் கட்டமைப்பு சூத்திரங்களை மாற்றுவது, அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே சொற்களை வைப்பது மற்றும் அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்குவது போன்றவற்றில், சாதாரண இயற்கணித வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரிய நிறுவப்பட்ட விதிகளை நீங்கள் பின்பற்றலாம். பெருக்கல் மற்றும் தலைகீழ் விதிகள் தொடர்பான கூட்டல் விதிகள் பூலியன் இயற்கணிதத்திற்கு குறிப்பிட்டவை.